脳内計算尺

　以前、計算尺相当の有効数字での計算ならば指数関数を除いて暗算可能だ、という話をしたことがある。
　捜し物をしていて、偶然、そのことを記したメモを見つけたので、忘れないうちに転載しておく。

仮定）

脳内に、一時記憶領域（以下、「レジスタ」という）が７つある。

角度は、度分秒で与えられる。

３桁×１桁の乗算、５桁程度の加算は、一時記憶領域を必要とせずに実施できる。

（最後の条件だけは、ちょっと厳しいかも。暗算４級（珠算の）を要求している。）

結論）

計算尺と同等の精度で三角関数の計算ができる。

手順：

Use　R4, R5, R6, R7 ４番から７番までのレジスタをアキュムレータとして使用する
　
Mov　R1, degree　　　１番レジスタに角度値（まだ度分秒）をロード
Mov　R2, C_PI　　　　２番レジスタに円周率の値をロード
Mul　R1, R2　　　　　１番レジスタに２番レジスタの値を乗算
Mov　R2, 180　　　　　２番レジスタに180（定数）をロード
Div　R1, R2　　　　　１番レジスタを２番レジスタで除算（これで角度が弧度法に）
　
　角度を弧度法に変換している。円周率を乗ずる際には、筆算だと３桁×３桁で、乗算記号の下に４段の数字が並ぶので、４つのレジスタを計算途中の一時記憶用として使用する。
　言い換えると、３桁×１桁の乗算は、脳内レジスタを消費せずに計算できなければならない。また、小数の位取りは、自分で調節しなければならない。
　
　　　　　　　２５８　　　１番レジスタに格納済（実際には様々な値）
　　　　x 　　３１４　　　２番レジスタに格納済（円周率の最初の３桁）
　　　　−−−−−−−−−
　　　　　　１０３２　　　４番レジスタを使用
　　　　　　２５８　　　　５番レジスタを使用
　　　　　７７４　　　　　６番レジスタを使用
　　−−−−−−−−−
　　　　　８１０１２　　　７番レジスタを使用　→　１番レジスタに再格納、
　
　このとき、有効数字４桁目以降の四捨五入と、小数位置の確認を同時に行っている。
　

Mov　R2, R1
Mul　R2, R1　　　　　２番レジスタには角度ｘの２乗が格納される
Mov　R3, R2
Mul　R3, R1　　　　　３番レジスタには角度ｘの３乗が格納される
　
　このとき、いすれも４番〜７番レジスタが、第一段の場合と同様に、計算途中結果の格納用として使用されていることに注意。
　

Free　R4, R5　　　　　４番及び５番レジスタをアキュムレータとしての役割から解放する
Mov　R4, R3
Mov　R5, 6
Div　R4, R5　　　　　４番レジスタには　ｘ3/6 が格納される
Sub　R1, R4　　　　　１番レジスタに、ｘ−ｘ3/6 が格納される
Use　R4, R5　　　　　４番、５番レジスタを再度アキュムレータとして使用する
Mul　R2, R3　　　　　２番レジスタには角度ｘの５乗が格納される
Mov　R3, 120
Div　R2, R3　　　　　それを120で割って、２番レジスタの値が ｘ5/120 となる
Add　R1, R2　　　　　１番レジスタに２番レジスタを加える。これは殆ど不要であることが多い。
Free　R4, R5, R6, R7　アキュムレータを解放して
　
return　R1　　　　　　終わり。１番レジスタに、有効数字３桁で、sin X が格納されている。

備考）

Cos も、基本的には計算の手間は同じ。

Tan は、計算量がもう少し多くなるので多少厄介。

Log は、log₁₀2（0.3010）、log₁₀3（0.4771）だけを覚えていれば、あとは素因数分解の組合せで暗算可能。

→　log₁₀325 の場合、

　　325=5×5×13、

　　log₁₀5 = 1−log₁₀2 = 0.6990、

　　log₁₀12 = 1og₁₀2+1og₁₀2+1og₁₀3 = 0.3010+0.3010+0.4771 = 1.0791

　　log₁₀13.3333 = log₁₀40−log₁₀3 = 1＋1og₁₀2+1og₁₀2−1og103 = 1.1249

　　log₁₀13 ≒ 1/4･log₁₀12＋3/4･log₁₀13.3333 = 1.1134（実際は1.11394）

　　log₁₀325 = log₁₀5 + log₁₀5 + log₁₀13 = 0.6990+0.6990+1.1134 = 2.5114

　　で、有効数字を３桁に丸めて、log₁₀325 = 2.51（実際は2.51183）

Exp は、早い収束級数がないので、計算不可能。

→　１時間くらいかかってもいいなら、以下のやり方が一応存在する。

　　(1)　A^b=P として、

　　(2)　log₁₀P = log₁₀A^b = b×log₁₀A

　　(3)　log₁₀A を求め、それをb倍してlog₁₀Pを求める。

　　(4)　適当な数字xについてlog₁₀xを求め、log₁₀Pと比較する。

　　(5)　log₁₀xの値がlog₁₀Pとほぼ等しいときは、P≒x である。（計算終了）

　　(6)　log₁₀xの値がlog₁₀Pより小さいときは、xを大きくして(4)へ戻る。

　　(7)　log₁₀xの値がlog₁₀Pより大きいときは、xを小さくして(4)へ戻る。

　

問題点

　これらの手法、特に最後の Exp は、計算量が膨大なため、脳内レジスタの疲労によるメモリ揮発が心配である。Geo80k のように中高年になってしまうと、特にメモリリフレッシュで苦労する。
　アルゴリズムもエレガントの対極である。(4)〜(7) までのループがひどい。